Três questões de matemática da EsPCEx resolvidas, e a alternativa que pegou quem errou

Separei três questões de matemática das duas últimas provas da EsPCEx. Elas estão no banco de questões do Elementar, onde alunos já responderam cada uma mais de mil vezes, então dá para ver exatamente qual alternativa errada atraiu mais gente. Tente resolver antes de ler a resolução.

Questão 1: figurinhas sem reposição (EsPCEx 2025)

Alex tem 10 figurinhas do Palmeiras, 15 do Flamengo e 20 do Grêmio, todas misturadas numa caixa. Ele retira aleatoriamente, sucessivamente e sem reposição, 2 figurinhas. Qual a probabilidade de as duas serem do Flamengo?

(A) 7/66   (B) 1/9   (C) 2/15   (D) 2/45   (E) 3/22

Resolução. São 45 figurinhas no total. A chance de a primeira ser do Flamengo é 15/45. Como não há reposição, sobram 14 do Flamengo em 44 figurinhas, e a chance da segunda é 14/44. Multiplicando: (15/45) × (14/44) = (1/3) × (7/22) = 7/66. Gabarito: A.

No banco, 83% acertaram, e a errada mais marcada foi a D, com 8%. O "sem reposição" está sublinhado no enunciado porque é ele que muda a segunda fração: quem trata como se houvesse reposição faz (1/3) × (1/3) = 1/9, que é a alternativa B.

Questão 2: triângulos numa semicircunferência (EsPCEx 2024)

Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B. Tomando quaisquer três desses pontos, quantos triângulos não retângulos podem ser formados?

(A) 8   (B) 10   (C) 30   (D) 112   (E) 120

Resolução. Como os 10 pontos estão sobre um arco, três deles nunca são colineares, e todo trio forma triângulo. O total é C(10,3) = 120. Agora a parte que a banca quer testar: um triângulo inscrito é retângulo exatamente quando um dos lados é diâmetro. Aqui o único diâmetro possível é AB, então os triângulos retângulos são os que usam A e B e mais um dos outros 8 pontos. São 8 triângulos retângulos, e sobram 120 − 8 = 112. Gabarito: D.

78% acertaram. Os 9% que marcaram 120 contaram todos os triângulos e não tiraram os retângulos. E os 5% da alternativa A responderam a pergunta contrária: contaram os retângulos.

Questão 3: posição relativa de duas circunferências (EsPCEx 2024)

Considere as circunferências λ₁: x² + y² − 2x − 4y + 1 = 0 e λ₂: x² + y² + 4x − 10y + 13 = 0. Qual a posição relativa de λ₁ e λ₂?

(A) Uma interior à outra   (B) Tangentes interiormente   (C) Exteriores   (D) Tangentes exteriormente   (E) Secantes

Resolução. Completando quadrados, λ₁ vira (x − 1)² + (y − 2)² = 4, com centro (1, 2) e raio 2. λ₂ vira (x + 2)² + (y − 5)² = 16, com centro (−2, 5) e raio 4.

A distância entre os centros é √(3² + 3²) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. A soma dos raios é 6 e a diferença é 2. Como 2 < 4,24 < 6, as circunferências se cortam em dois pontos. Gabarito: E.

76% acertaram. A errada mais marcada foi "exteriores", com 9%. O tropeço mais comum nesse tipo de questão é errar um sinal ao completar o quadrado e colocar o centro no lugar errado, e com o centro errado a distância passa da soma dos raios.

Onde treinar mais questões assim

Essas três estão no banco de questões do Elementar, junto com mais de 81 mil questões de provas militares, vestibulares e olimpíadas, todas com resolução comentada. Você filtra por prova e por matéria, vê o percentual de cada alternativa como neste post, e o que errar volta para revisar.

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