Três questões de matemática da EPCAr resolvidas, e a pegadinha de cada uma

Separei três questões de matemática das duas últimas provas da EPCAr que estão no banco de questões do Elementar. As três têm conta curta, e o que derruba é uma alternativa que parece certa à primeira vista. Tente resolver antes de ler.

Questão 1: aumento seguido de desconto (EPCAr 2024)

O preço de um produto sofre um aumento de 20% e, em seguida, um decréscimo de 15%. Para voltar ao preço inicial, o produto deverá sofrer um decréscimo que:

(A) é igual a 1,5%   (B) está entre 1,5% e 2%   (C) é igual a 2%   (D) é maior que 2%

Resolução. Porcentagens em sequência se multiplicam: 1,20 × 0,85 = 1,02. O preço ficou 2% acima do inicial. Para voltar, o novo desconto incide sobre 1,02P, e não sobre P: 1,02 × (1 − x) = 1, então 1 − x = 1/1,02 ≈ 0,9804 e x ≈ 1,96%. Gabarito: B.

71% acertaram. Os 18% da alternativa C viram o preço 2% mais caro e concluíram que um desconto de 2% resolvia. Só que 2% de um valor maior tira mais do que os 2% que foram acrescentados sobre o valor menor, então o desconto necessário fica um pouco abaixo de 2%.

Questão 2: mdc com produto máximo (EPCAr 2024)

Os números naturais p e q têm soma 108, com p < q, o mdc de p e q é 12 e o produto pq é o maior possível. A respeito de p e q, é correto afirmar que:

(A) √(pq) é racional   (B) p está para q assim como 1 está para 2   (C) o mmc é 240   (D) se forem lados de um triângulo, o terceiro lado pode medir 108

Resolução. Se o mdc é 12, escreva p = 12a e q = 12b, com a e b primos entre si. Então 12(a + b) = 108 e a + b = 9. Com a soma fixa, o produto é máximo quando os números estão o mais próximos possível: a = 4 e b = 5, que são primos entre si. Daí p = 48 e q = 60, e o mmc é 48 · 60 / 12 = 240. Gabarito: C.

80% acertaram. Vale conferir por que as outras caem: √2880 = 24√5 não é racional, 48/60 = 4/5, e 48 + 60 = 108 não é maior que 108, então não existe triângulo com esses lados. A alternativa D testa justamente a desigualdade estrita.

Questão 3: soma das raízes de f(x − 1) (EPCAr 2025)

Seja P a soma das raízes de f(x) = ax² + bx + c e S a soma das raízes de f(x − 1). Então, a diferença S − P é igual a:

(A) −2   (B) −1   (C) 1   (D) 2

Resolução. Dá para expandir f(x − 1) e usar −b/a, mas existe um caminho de uma linha. Se r é raiz de f, então f((r + 1) − 1) = f(r) = 0, ou seja, r + 1 é raiz de f(x − 1). Cada uma das duas raízes anda uma unidade para a direita, e a soma aumenta 2. Gabarito: D.

73% acertaram. Os 12% que marcaram −2 acertaram o tamanho do deslocamento e erraram o sentido. Trocar x por x − 1 desloca o gráfico para a direita, mesmo com o sinal de menos na expressão.

Onde treinar mais questões assim

Essas três estão no banco de questões do Elementar, que tem mais de 81 mil questões de provas militares, vestibulares e olimpíadas, todas com resolução comentada. Você filtra por prova e por matéria, vê o percentual de cada alternativa, e o que errar volta para revisar.

Até o dia 10 a assinatura sai por R$ 27 por mês. Depois volta para R$ 57.