Geometria na EPCAr: o que mais cai e por que quase todo mundo erra

O que mais cai em geometria na EPCAr é semelhança de triângulos, áreas de figuras planas e trigonometria no triângulo retângulo, três assuntos que aparecem sozinhos e também misturados dentro da mesma questão. O erro que mais derruba candidato não é desconhecer a fórmula certa. É reconhecer a fórmula, ter decorado ela direitinho, e mesmo assim não enxergar onde ela se encaixa na figura que a prova desenhou.

Sou professor de geometria e matemática aqui no Elementar, fiquei em 5º lugar do Brasil na EPCAr de 2022, e reviso questão de geometria toda semana, em aula e em correção. O padrão se repete todo ano: aluno que sabe a fórmula de cor trava porque nunca treinou o passo antes da fórmula, que é decidir qual traçado, qual ângulo ou qual relação vale a pena buscar primeiro.

O que o Anexo II diz que cai em geometria plana na EPCAr?

O Anexo II do edital dedica 21 itens só a geometria plana, do 2.8.1 ao 2.8.21, e é o maior bloco de todo o Anexo II de matemática. A ordem dos itens é esta:

1. Conceitos de base e ângulos. O ponto de partida do bloco inteiro.
2. Polígonos. Classificação e propriedades gerais.
3. Pontos notáveis do triângulo. Mediana e baricentro, bissetriz e incentro, altura e ortocentro, mediatriz e circuncentro.
4. Quadriláteros.
5. Círculo e circunferência.
6. Teorema de Tales.
7. Congruência e semelhança.
8. Relações métricas. No triângulo retângulo e num triângulo qualquer.
9. Razões trigonométricas. Nos dois casos, retângulo e qualquer.
10. Área e perímetro.
11. Polígono inscrito e circunscrito. O item que fecha o bloco.

Por que decorar fórmula é o que mais faz o candidato errar geometria?

Porque geometria plana anda lado a lado com o porquê das coisas, e a fórmula sozinha não carrega esse porquê. Quando você marca um ângulo de 90 graus numa figura sem conseguir dizer por que ele é 90 graus, ainda não entendeu a geometria daquele problema, só copiou um número. A cada traçado, a cada ângulo marcado, a cada lado que você afirma ser igual a outro, existe uma justificativa por trás. Treinar essa justificativa é o que separa quem resolve questão nova de quem só resolve questão parecida com uma que já viu antes.

Isso explica também por que questão de geometria costuma travar até quem está bem em outras matérias. Uma questão de concurso raramente cobra um único assunto isolado. Ela mistura semelhança de triângulo com equação do segundo grau, ou trigonometria com relações métricas, dentro da mesma figura. Quem só decorou fórmula solta, sem repertório de como essas peças se encaixam, trava justamente aí, porque a dificuldade não está em nenhuma fórmula isolada. Está em saber por qual delas começar.

Áreas: por que essa é a pergunta que mais derruba quem já sabe a teoria?

A teoria de área é curta: retângulo, triângulo, losango, trapézio, círculo, cada um com sua fórmula, e a maioria dos candidatos já domina isso antes mesmo de estudar a fundo para a EPCAr. O que derruba é a aplicação, sobretudo em questões com figuras semelhantes ou com uma área composta por partes que não têm nome próprio. A regra que resolve a maior parte desses casos é uma só: quando duas figuras são semelhantes, a razão entre as áreas delas é sempre o quadrado da razão de semelhança entre os lados correspondentes.

Numa questão que já usei em aula, um triângulo é dividido por duas retas paralelas à base em três partes de área igual, e a pergunta pede a altura de uma faixa central. Sem essa regra, a questão parece impossível de montar. Com ela, cada faixa vira um triângulo semelhante ao maior, a razão entre as áreas acumuladas até cada faixa já é conhecida, e a altura sai de uma equação simples depois de tirar a raiz quadrada dos dois lados. A mesma lógica resolve outra questão clássica, de área sombreada envolvendo hexágonos: transformar a figura estranha numa soma e subtração de triângulos equiláteros e setores circulares, formas para as quais já existe fórmula pronta.

Trigonometria no triângulo retângulo: por que a tabela decorada falha na hora da prova?

Seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º não precisam ser decorados numa tabela. Eles saem de duas figuras que qualquer aluno já conhece. Um quadrado cortado pela diagonal forma um triângulo retângulo com dois ângulos de 45º, e a partir dos lados desse triângulo o seno e o cosseno de 45º aparecem sozinhos. Um triângulo equilátero cortado ao meio por uma altura forma um triângulo retângulo com ângulos de 30º e 60º, e o mesmo raciocínio entrega as quatro razões restantes. Quem entende essa dedução nunca fica na mão quando esquece a tabela, porque reconstrói o valor em menos de um minuto.

Uma segunda ideia prática, que uso direto nas correções: quando o lado colado no ângulo conhecido é a hipotenusa, esse lado colado se relaciona com o cosseno, e o lado oposto ao ângulo se relaciona com o seno. É um jeito rápido de montar a expressão sem escrever razão trigonométrica por extenso toda vez, e economiza tempo real numa prova cronometrada.

Existe algum teorema pouco conhecido que ajuda em questões de circunferência e bissetriz?

Sim, e vale guardar dois. O primeiro é o teorema de Stuart, que relaciona os três lados de um triângulo com uma ceviana qualquer traçada a partir de um vértice, mesmo quando essa ceviana não é altura nem bissetriz. Ele resolve direto questões em que a figura dá uma mediana ou uma ceviana genérica e pede a medida dela, sem precisar montar sistema de equações a partir de relações trigonométricas.

O segundo é uma regra que uso toda vez que aparece uma circunferência tangente a outra linha ou a outra circunferência: ligar o centro ao ponto de tangência sempre forma um ângulo de 90 graus ali. Isso transforma uma figura cheia de curvas, que parece impossível de medir, num triângulo retângulo comum, onde teorema de Pitágoras e semelhança já resolvem o resto. A mesma ideia vale para a bissetriz de um triângulo: existe uma fórmula que dá a medida da bissetriz em função dos dois lados que ela separa e do ângulo entre eles, e ela nasce comparando a área do triângulo grande com a soma das áreas das duas partes que a bissetriz cria.

Vale a pena treinar geometria com questão de vestibular, não só de concurso militar?

Vale, com um cuidado. Já usei em aula uma questão da Fuvest sobre hexágonos, que também já caiu num colégio militar depois, prova de que a EPCAr recicla ideia de vestibular civil quando ela é boa o suficiente. O que vale a pena copiar dali é o mecanismo por trás da resolução. Questão muito repetida entre cursinhos vira memorização de resposta pronta, e isso esvazia a única coisa que uma questão de geometria deveria testar: se você entende o assunto.

A cada passo que você dá num problema de geometria, a cada afirmação que você faz, você precisa mostrar o porquê daquilo.Yago Castelo, no vídeo Geometria Plana: método que te liberta da fórmula

Trigonometria no triângulo qualquer também cai? Como a lei dos cossenos ajuda?

Cai, principalmente quando o triângulo não tem ângulo reto e a questão dá informação sobre um ângulo em função de outro, como o cosseno da diferença entre dois ângulos do triângulo. Nesses casos, um truque recorrente é criar um ponto auxiliar dentro da figura que force o aparecimento dessa diferença de ângulos como um ângulo só, geralmente formando um triângulo isósceles. A partir daí, aplicar a lei dos cossenos duas vezes, uma para achar um lado desconhecido e outra para achar o ângulo pedido, resolve a questão sem precisar de fórmula de trigonometria de arco duplo ou diferença de arcos, que não é cobrada na prova.